上一篇在繼續了解Kepler 1st law 的證明前，先要重溫一下微分方程和幾何，所以到圖書館找找書，借了本 《
Applied Maths for Engineering》 重溫一下微積分和各種數學工具。
很多時看微積分的過程時，都會被一些看似是微分 (dx、dy) 的移項而感到混亂。記得聽說過雖然做起來不大分別，但概念仍是不同的。今次重溫的一個得著就是弄清楚這些基礎再出發，對閱讀別人的運算時有幫助。
對導數的正式定義是 $\frac{\text{d}f}{\text{d}t} = \lim_{h \rightarrow 0} \frac{f(t+h)-f(t)}{h}$。但可以換一個形象化的方式再看一次：有一條方程式 y=f(x)，在一段很細小的範圍內，斜率是 $\frac{\delta y}{\delta x}$。這裡看成除法或分數仍然有效，因為分母仍不是零，仍未觸及「無窮小」這個所謂「消逝量的幽靈」。接下來當考慮 $\lim_{\delta x \rightarrow 0}$ 時，才開始寫成 $\frac{\text{d}y}{\text{d}x}$。當中的 $\frac{\text{d}}{\text{d}x}$ 是一個符號、函數、或運算子，作用於 $y=f(x)$。所以，從前學「Chain Rule」時可能聽過 $\frac{\text{d}y}{\text{d}x} = \frac{\text{d}y}{\text{d}u}\frac{\text{d}u}{\text{d}x}$ ，或者積分時 $\int \left(u^2 \frac{du}{dx}\right)dx$ 可以「像」分數相約般操作，但實際上，要抽半個符號出來，甚至還能運算，是不合理的。不過，如果回到取「無窮小」（$\lim_{\delta x \rightarrow 0}$）之前的 $\frac{\delta y}{\delta x}=\frac{\delta y}{\delta u}\frac{\delta u}{\delta x}$ 或 $\sum_{\delta x} \left(u^2 \frac{\delta u}{\delta x}\right) \delta x$ ，就容易理解了。
還有一個例子是找出一個平面的重心時，可以用這樣的積分：$(x,y) = \left( \frac{\int xy \text{d}x}{\int y \text{d}x}, \frac{\int xy \text{d}y}{\int x \text{d}y} \right) $ 也這個有助了解 $x$ 和 $\delta x$ 在積分中的分別。
（這個 $\int xy \text{d}x$ 稱為 "First Moment of Area about y-axis"，統計上的 "First moment" $\int x f(x) \text{d}x$ 這個名詞跟這個有關嗎？）
一些有用的總結：
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| $y=f(x)$ |
$\frac{\text{d}y}{\text{d}x}$ |
| $ax^n$ |
$anx^{n-1}$ |
| $\sin ax$ |
$a \cos ax$ |
| $\cos ax$ |
$-a \sin ax$ |
| $\tan ax$ |
$a {\sec^2} ax$ |
| $e^{ax}$ |
$a e^{ax}$ |
| $\ln ax$ |
$\frac{1}{x}$ |
| $uv$ |
$u\frac{dv}{dx} + \frac{du}{dx} v$ |
| $f(u)$ |
$\frac{\text{d}y}{\text{d}u}\frac{\text{d}u}{\text{d}x}$ |
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| $y=f(x)$ |
$\int y \text{d}x$ |
| $ax^n$ |
$\frac{a x^{n+1}}{n+1} + C$ $(n\neq -1)$ |
| $\sin ax$ |
$-\frac{1}{a}\cos ax + C$ |
| $\cos ax$ |
$\frac{1}{a}\sin ax + C$ |
| $\sec ax$ |
$\frac{1}{a}\tan ax + C$ |
| $e^{ax}$ |
$\frac{1}{a} e^{ax} + C$ |
| $\frac{1}{x}$ |
$\ln{x} + C$ |
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- $\delta A = y \delta x$ => $\int dA = \int y(x) dx $ 或 $\int_{A_{x0}}^{A_{x1}} dA = \int_{x_0}^{x_1} y(x) dx$
- $\sin^2 x =\frac{1}{2}(1-\cos 2x) $
Kepler 1st Law：行星循橢圓軌道圍繞焦點上的太陽運行
回到 Kepler 1st Law 的證明，今次更多需要用到微積分的技巧。溫習過後，從
維基就可以找到看得明白的證明。以下開始前先再補充一下背後是什麼回事。當初人們相信地球的公轉軌道應該是完美的圓，但後來從觀察發現似乎是橢圓軌道，這怎樣解釋呢？天上的世界不應該是完美的嗎？......直到牛頓發現了描述物體運動和引力的數學方程式，我們就是要由這些工具導出橢圓形的公轉軌道，原來，數學邏輯和物理規律就是背後的自然原理。
現在，我們想得到一條形容地球位置的方程式，而這結果中的方程式應該會符合橢圓方程。我隨著物理量的定義和物理關係的理解，手上有大堆砌圖板塊有關，部分是「質量」、「引力常數」等不會隨時間變化的量，變量部分例如地球在軌道上運行時的「位置」、「速度」、「加速度」。而其實，速度是位置隨時間的變化：加速度是速度隨時間的變化；透過形容這些位置衍生量(Derivatives)關係的方程，去找出形容位置的方程，就是求解「微分方程」所能做的事。
從動量 $L= \omega mr^2 = \frac{d \theta}{dt}mr^2$ 開始。設 u=1/r。
$\theta$ 的一次導數：
\begin{align}
\dot{\theta} = \frac{L}{mr^2} = \frac{Lu^2}{m} \\
\end{align}
根據 Chain Rule 和角動量 $L=\dot{\theta}mr^2$，$\frac{d}{dt}$ 的表達可以轉化為 $ \frac{d}{dt} = \frac{d\theta}{dt}\cdot\frac{d}{d\theta} = \frac{L}{mr^2}\cdot\frac{d}{d\theta}
= \frac{Lu^2}{m}\cdot\frac{d}{d\theta} $
r 的一次導數：
\begin{align}
\dot{r} = \frac{d}{dt}(r) &= \frac{d}{dt}(\frac{1}{u}) \\
&= \frac{Lu^2}{m}\cdot\frac{d}{d\theta}(\frac{1}{u}) \\
&= \frac{Lu^2}{m}\cdot-\frac{1}{u^2}\frac{d}{d\theta}(u) \\
&= -\frac{L}{m}\cdot\frac{d}{d\theta}(u) \\
\end{align}
r 的二次導數：
\begin{align}
\ddot{r} = {\frac{d}{dt}}^2(r) &= \frac{d}{dt}(\frac{d}{dt}(r)) \\
&= \frac{Lu^2}{m}\cdot\frac{d}{d\theta}(-\frac{L}{m}\frac{d}{d\theta}(u) ) \\
&= -\frac{L^2u^2}{m^2}\cdot\frac{d}{d\theta}(\frac{d}{d\theta}(u) ) \\
&= -\frac{L^2u^2}{m^2}\cdot{\frac{d}{d\theta}}^2(u) \\
\end{align}
準備有關做成「引力」和「圓周運動」的向心加速度方程式
\begin{align}
a &= -\frac{GM}{r^2} + r{\omega}^2 \\
\ddot{r} - r \dot{\theta}^2 &= -\frac{GM}{r^2} \\
\end{align}
把 $\theta$ 和 $r$ 的導數放進去，會整理出一條二階微分方程。
\begin{align}
-\frac{L^2u^2}{m^2}\cdot{\frac{d}{d\theta}}^2(u) - \frac{1}{u} \frac{L^2u^4}{m^2} &= -{GMu^2} \\
{\frac{d}{d\theta}}^2(u) + u &= \frac{m^2}{L^2u^2}\cdot{GMu^2} \\
{\frac{d}{d\theta}}^2(u) + u &= \frac{GMm^2}{L^2} \\
\end{align}
$u$ 的一個特解是 $\frac{GMm^2}{L^2}$ 。以及相關的齊次微分方程 ${\frac{d}{d\theta}}^2(u) + u = 0$ 。這個形式的齊次微分方程的解是：$C\cos(\theta-\theta_0)$。
所以完整的一般解是：$u = \frac{GMm^2}{L^2} + C\cos(\theta-\theta_0)$
取 $\theta_0$ 令 $\cos(\theta-\theta_0)=-\cos\theta$；和設 $e = C \frac{L^2}{GMm^2}$，代入後得到 $ \Rightarrow u = \frac{GMm^2}{L^2} (1- e\cos{\theta})$，所以：
$$ r = \frac{L^2/GMm^2}{1-e\cos{\theta}}$$
對比圓錐曲線的方程式：$r = \frac{l}{1-e\cos{\theta}}$ ，對於 $0<e<1$ 會得到橢圓；$e=0$ 會得到正圓軌道；$e=1$ 會得到拋物線軌道；$e>1$ 會得到雙曲線軌道。可以留以到，圓形或拋物線都是一種特例（圓形應該更難得）。如果系統轉動的動量夠大的話，會沿雙曲線軌道接近後飛走；動量不夠大的話，就會被捕獲而循橢圓形軌道公轉。 這些留下來的天體，如太陽系的行星，吸引到開普勒綜合出他的第一定理。
