開普勒三大定律
一：行星循橢圓軌道圍繞焦點上的太陽運行；
二：行星運行時，行星與太陽的連線，在相同時間內所掃過的面積相同；
三：行星公轉的周期平方和橢圓軌道半長軸的立方成正比。 $T^2 \propto a^2$；
《自然哲學的數學原理》據 此連結 分為三篇，開始時先下了有關 質量(m)、動量(mv)、 慣性、力(F)、向心力、向心加速度的八個定義，提出三大運動定律，及其推論。第一篇討論與微積分有關的定理、萬有引力定律和行星運動；第二篇討論介質對物體運動的影響。第三篇討論萬有引力理論在天體運動上的應用。現在物理課學到 Newton's Laws 時，大概也沒有提到這是牛頓為了天體運動的研究。
三：行星公轉的周期平方和橢圓軌道半長軸的立方成正比。 $T^2 \propto a^2$
有關力場的萬有引力定律：$F = \frac{GMm}{r^2}$有關運動的第二定律和向心力的推導： $F = \frac{mv^2}{r}$ (向心加速度 $a_c = v^2/r$)
結合兩者可以得到：
\begin{align}
\frac{GMm}{r^2} & = \frac{mv^2}{r} \\
\frac{GM}{r} & = v^2 \\
\frac{GM}{r} & = (\frac{2\pi r}{T})^2 \\
T^2 & = \frac{4\pi^2}{GM}r^3 \\
T^2 & \propto r^3
\end{align}
二：行星運行時，行星與太陽的連線，在相同時間內所掃過的面積相同
這個用到面積的計算和角動量守恆($\frac{\text{d}\vec{L}}{\text{d}t}=\vec{Torque}$)（角動量守恆可以用到微積分和外積等推導...）。在一個 $(i,j)$ 擴充平面上轉動的系統，無外力情況下的角動量 ($\vec{L}=mr^2\omega\vec{k}$) 守恆 ($\vec{L}=\vec{Constant}$)；在一個細小的距離下 $\delta A = \frac{1}{2}r^2 \delta \theta$
把每一小段面積加起來：
\begin{align}
\int dA & = \frac{1}{2} \int_{\theta(t_0)}^{\theta(t_1)} r^2 d\theta \\
\int dA & = \frac{1}{2}\int_{t_0}^{t_1}r^2 \frac{d\theta}{dt}dt \\
\int dA & = \frac{1}{2}\int_{t_0}^{t_1}r^2 \omega dt \\
\int dA & = \frac{1}{2}\int_{t_0}^{t_1} \frac{L}{m} dt \\
\int dA & = \frac{L}{2m}\cdot (t_1-t_0) \\
\end{align}
最後兩行就是因為角動量($L=mr^2\omega$)守恆，所以 $A = \frac{L}{2m} \cdot (t_1-t_0)$
一：行星循橢圓軌道圍繞焦點上的太陽運行
至於第一條定律還是在了解中，暫時所見的都是透過微分方程，和證明軌道符合圓錐曲線的方程式。但我對這方程仍是很陌生，所以都想先了解這個圓錐曲線。留意到原來台灣的中學課程應該有教授圓錐曲線的，香港沒有在中學課程正式接觸圓錐曲線的整個家族，只有圓形的方程式是重要提及的部分，拋物線只有一元二次方程，橢圓和雙曲線好像就沒蹤影，橢圓對大眾認知只是「扁的圓形」，特性只有從科普讀物中略知一二。中學時期，圓的方程式有2種：
$(x-h)^2 + (y-k)^2 = r^2$ －標準式（Standard Form）
$x^2 + y^2 + Dx + Ey + F = 0$ －一般式 （General Form）
第一種很直觀，可以反映什麼是圓心、半徑，和它們在圓形中的關係；第二種像是重新整理成較簡單的形式，然後就多了兩個關係要記：$圓心 = (-\frac{D}{2},-\frac{E}{2})$ $半徑 = \sqrt{\left(\frac{D}{2}\right)^2+\left(\frac{E}{2}\right)^2-F}$ ，但會不會覺得公式本身少了點獨特的意義？這時有些老師就會講多一點提到：一般式更一般的二元二次方程式： $Ax^2+Bxy+Cy^2+Dx+Ey+F=0$ 就是一組叫「圓錐曲線」的家族方程式。
但牽涉代數、坐標、方程式的解析幾何是費馬、笛卡兒時代的產物。現在關於 Foci（焦點)、Directrix（準線）與Eccentricity（離心率）的研究，利用軌跡的概念探討圓錐曲線的性質：「動點到一定焦點的距離與其到一定準線的距離之比為常數（離心率e）的點的集合就是圓錐曲線。」「對於 0 < e < 1得到橢圓，對於 e = 1得到拋物線，對於 e > 1得到雙曲線。」⋯⋯ 這麼複雜的定義當然都不是圓錐曲線的最初起源。
這4種圓錐曲線的方程式分別是：
| 圓錐曲線 | 標準式 | 一般式的 $B^2-4AC$ | 離心率 $e$ | 半正焦弦 $l$ |
|---|---|---|---|---|
| 圓 | $x^2+y^2 = a^2$ | < 0 | 0 | $a$ |
| 橢圓 | $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ | < 0 | $\sqrt{1 - \frac{b^2}{a^2}} <1$ | $\frac{b^2}{a}$ |
| 拋物線 | $y^2 = 4ax$ | = 0 | 1 | $2a$ |
| 雙曲線 | $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ | > 0 | $\sqrt{1 + \frac{b^2}{a^2}} >1$ | $\frac{b^2}{a}$ |
除了平面坐標上「一般式」的統一外，如果用極坐標 $(r , \theta)$ 表示的話，又可以歸於：
$$r=\frac{l}{1+e\cos\theta}$$
如何將這些幾何和方程式連結起來？而至於推導出行星軌道是圓錐曲線，解釋到天上的系統不再是完美的圓？ 待續。
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