[Math] Derivation of Kepler's Law (Part 1) 和 Briefing on Conic Section

上周提到在重溫《改變世界的17個方程式》。書的第 3、4 篇寫到有關微積分的 $\frac{\text{d}f}{\text{d}t} = \lim_{h \rightarrow 0} \frac{f(t+h)-f(t)}{h}$ 和萬有引力公式 $F=\frac{Gm_1m_2}{d^2}$ 。這書也寫到 Isaac Newton(牛頓) 和 Robert Hooke(虎克) 誰發現萬有引力的爭議，以及牛頓寫成的數學式驗證了 Johannes Kepler（開普勒）行星軌道定律，這個實際應用上的貢獻。開普勒從大量的觀察數據和自身的數學能力，綜合出有關行星軌道的三條定律，在實際運用時比傳統的圓形軌道計算更接近觀察，所謂「The truth is out there」，雖然當時未必明白定律背後的原理，但絕對是當時天文學上的偉大發現。這直到牛頓的出現，1687發表的《自然哲學的數學原理》(Mathematical Principles of Natural Philosophy)，一口氣涵蓋了微積分的基本概念、物體運動三大定律、有關引力性質的方程式，從而數學化地推導出開普勒定律，等等⋯⋯ 看到這些，就想起中學數學老師說過他也曾嘗試推導開普勒定律，是用當時我們所學的程度就足夠，現在想來大概是想鼓勵我們嘗試吧。嗯... 我旦求明白就好了。

開普勒三大定律
一：行星循橢圓軌道圍繞焦點上的太陽運行；
二：行星運行時，行星與太陽的連線，在相同時間內所掃過的面積相同；
三：行星公轉的周期平方和橢圓軌道半長軸的立方成正比。 $T^2 \propto a^2$；


《自然哲學的數學原理》據 此連結 分為三篇，開始時先下了有關 質量(m)、動量(mv)、 慣性、力(F)、向心力、向心加速度的八個定義，提出三大運動定律，及其推論。第一篇討論與微積分有關的定理、萬有引力定律和行星運動；第二篇討論介質對物體運動的影響。第三篇討論萬有引力理論在天體運動上的應用。現在物理課學到 Newton's Laws 時，大概也沒有提到這是牛頓為了天體運動的研究。

三：行星公轉的周期平方和橢圓軌道半長軸的立方成正比。 $T^2 \propto a^2$

有關力場的萬有引力定律：$F = \frac{GMm}{r^2}$
有關運動的第二定律和向心力的推導： $F = \frac{mv^2}{r}$    (向心加速度 $a_c = v^2/r$)
結合兩者可以得到：
$$\begin{align} \frac{GMm}{r^2} & = \frac{mv^2}{r} \\ \frac{GM}{r} & = v^2 \\ \frac{GM}{r} & = (\frac{2\pi r}{T})^2 \\ T^2 & = \frac{4\pi^2}{GM}r^3 \\ T^2 & \propto r^3  \end{align}$$

二：行星運行時，行星與太陽的連線，在相同時間內所掃過的面積相同

這個用到面積的計算和角動量守恆($\frac{\text{d}\vec{L}}{\text{d}t}=\vec{Torque}$)（角動量守恆可以用到微積分和外積等推導...）。在一個 $(i,j)$ 擴充平面上轉動的系統，無外力情況下的角動量 ($\vec{L}=mr^2\omega\vec{k}$) 守恆 ($\vec{L}=\vec{Constant}$)；

在一個細小的距離下 $\delta A  = \frac{1}{2}r^2 \delta \theta$
把每一小段面積加起來：
$$\begin{align} \int dA & = \frac{1}{2} \int_{\theta(t_0)}^{\theta(t_1)} r^2 d\theta \\ \int dA & = \frac{1}{2}\int_{t_0}^{t_1}r^2 \frac{d\theta}{dt}dt \\ \int dA & = \frac{1}{2}\int_{t_0}^{t_1}r^2 \omega dt \\ \int dA & = \frac{1}{2}\int_{t_0}^{t_1} \frac{L}{m} dt \\ \int dA & = \frac{L}{2m}\cdot (t_1-t_0) \\ \end{align}$$
最後兩行就是因為角動量($L=mr^2\omega$)守恆，所以 $A = \frac{L}{2m} \cdot (t_1-t_0)$

一：行星循橢圓軌道圍繞焦點上的太陽運行

至於第一條定律還是在了解中，暫時所見的都是透過微分方程，和證明軌道符合圓錐曲線的方程式。但我對這方程仍是很陌生，所以都想先了解這個圓錐曲線。留意到原來台灣的中學課程應該有教授圓錐曲線的，香港沒有在中學課程正式接觸圓錐曲線的整個家族，只有圓形的方程式是重要提及的部分，拋物線只有一元二次方程，橢圓和雙曲線好像就沒蹤影，橢圓對大眾認知只是「扁的圓形」，特性只有從科普讀物中略知一二。

中學時期，圓的方程式有2種：
$(x-h)^2 + (y-k)^2 = r^2$  －標準式（Standard Form）
$x^2 + y^2 + Dx + Ey + F = 0$ －一般式 （General Form）

第一種很直觀，可以反映什麼是圓心、半徑，和它們在圓形中的關係；第二種像是重新整理成較簡單的形式，然後就多了兩個關係要記：$圓心 = (-\frac{D}{2},-\frac{E}{2})$  $半徑 = \sqrt{\left(\frac{D}{2}\right)^2+\left(\frac{E}{2}\right)^2-F}$ ，但會不會覺得公式本身少了點獨特的意義？這時有些老師就會講多一點提到：一般式更一般的二元二次方程式： $Ax^2+Bxy+Cy^2+Dx+Ey+F=0$ 就是一組叫「圓錐曲線」的家族方程式。

但牽涉代數、坐標、方程式的解析幾何是費馬、笛卡兒時代的產物。現在關於 Foci（焦點)、Directrix（準線）與Eccentricity（離心率）的研究，利用軌跡的概念探討圓錐曲線的性質：「動點到一定焦點的距離與其到一定準線的距離之比為常數（離心率e）的點的集合就是圓錐曲線。」「對於 0 < e < 1得到橢圓，對於 e = 1得到拋物線，對於 e > 1得到雙曲線。」⋯⋯ 這麼複雜的定義當然都不是圓錐曲線的最初起源。

回到公元前200年的希臘學家Apollonius(阿波羅尼斯)在《圓錐曲線論》中研究一組雙圓錐體在不同角度下的切面，所產生的圓錐曲線，開始有了Parabola(拋物線)、Hyperbola(雙曲線)的叫法。當時的幾何學除了解圓形的「圓形上任一點到圓心的距離（半徑）為一定值」外，Apollonius的研究也知道「橢圓上任一點到兩焦點的距離和為一定值」以及『雙曲線上任一點到兩焦點距離差之絕對值是一定值』。

這4種圓錐曲線的方程式分別是：

圓錐曲線	標準式	一般式的 $B^2-4AC$	離心率 $e$	半正焦弦 $l$
圓	$x^2+y^2 = a^2$	< 0	0	$a$
橢圓	$\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$	< 0	$\sqrt{1 - \frac{b^2}{a^2}} <1$	$\frac{b^2}{a}$
拋物線	$y^2 = 4ax$	= 0	1	$2a$
雙曲線	$\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$	> 0	$\sqrt{1 + \frac{b^2}{a^2}} >1$	$\frac{b^2}{a}$

除了平面坐標上「一般式」的統一外，如果用極坐標 $(r , \theta)$ 表示的話，又可以歸於：
$$r=\frac{l}{1+e\cos\theta}$$

如何將這些幾何和方程式連結起來？而至於推導出行星軌道是圓錐曲線，解釋到天上的系統不再是完美的圓？ 待續。