[Math] 重溫 畢氏定理 及 對數運算公式（ Also: Euler's Number e）

問題：試證明長方形 BPDE 的面積等於 $a^2$。
(提示：證明三角形 ABF 與 EBC 全等。)

今個月翻借了這本書《改變世界的17個方程式》來看，回顧一些重要的公式，開首第一篇就是直角三角形的畢氏定理 $a^2+b^2=c^2$。雖然知道畢氏定理的證明有很多很多，但慚愧一直沒有記得過怎樣證明畢氏定理。於是今次上網看看，原來經典的證明就已經很簡單，以 Euclid 在《Elements》中的證法為例，用到全等三角形、和三角形與矩形間的面積等化，只要幾步就可以完成。

上面的問題中，留意邊長為$a$的正方形 與 三角形 ABF 等高，輔助線構成的兩個三角形全等(SAS) ，長方形BPDE 與 三角形 EBC 等高。於是有： $a^2$ = 2 Area ABF = 2 Area EBC = Area BPDE。 同樣地，可證明斜邊正方形中的另一個小長方形面積是 $b^2$。 所以，斜邊上的大正方形面積 $c^2= a^2+b^2$。

其他的創意方法也有很多很多，例如透過重新排列以下大正方形內的直角三角形。

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第 2 篇是有關對數的公式：$\log{A\times B}=\log{A}+\log{B}$
      －左邊是兩個「原數」的乘法，右邊是兩個較細的「對數」的加法。

歷史發展上，從前航海的地圖定位和時間都依賴精確的天文學，天文學的測量和預測需要處理大數的乘法。當年未有電腦/計算機，人手的話，計算加減 比 計算乘除 容易，如果可以將乘法轉換成加法，則可以大大加快數學家的計算工作。

這個公式是怎樣來的呢？現在我們都是先學「指數」的概念，之後才學到「對數」。如果觀察到指數的 $x^a x^b = x^{(a+b)}$，不難聯想到這條指數公式是對數公式的一體兩面，因為對數是指數的「逆運算」（Inverse)。可以看成是乘法的定義和指數逆運算的表達。

但厲害在於，當年普遍未有指數的觀念，「指數」的使用較「對數」遲。

當時的人從兩組數列的對應中，留意到兩個在「等比數列」中的大數乘法，可以用來「等差數列」對應的細數加法計算後，對應回到原本的數列中求得答案。
「等差數列」   -2,  -1,  0,  1,   2,    3,   4,    5,   6,     7,      8,    9...
「等比數列」 1/4,1/2,  1,   2,   4,   8,  16,  32, 64, 128, 256, 512...

留意兩個在「等比數列」中的大數乘法如 16x32， 可以透過計算「等差數列」對應的細數加法 4+5=9，之後對應回到等比數列中 512 求得。這例子中的「等比」（或「底」(Base)）是 2，而其實當初用的是比 1 小些少（或大些少） 的 $1-0.0000001$ （或 $1+0.0000001$）來製造數字排列更緊密的對數表。之後發覺用 10 作為底(Base)更方便使用，成為 10 的「常用對數表」。

例如要計算 123 x 789： 123 可以看成 $1.23 \times 10^2$ ，查表轉換成 0.0913 + 2 = 2.0913；789同樣地求得對數2.8971；相加得到4.987，反查得到大約是97050，相當接近 97047。對了，因為手上的簡單對數表的位數限制，也只是接近值而已，除非有人先計好更多位數的對數表，這就是前人所做的事。這個對數表還有實體化的對數尺，這些工具的使用是從前的計算者所必需掌握的技巧。

到計算機的出現後，今天我想也不會有人需要到用對數表，但一些對數而來的技巧就仍然有用，作為指數的逆運算當然很大用處；N 的位數可以用 $\lfloor \log (N) \rfloor$ 求得； N 的 n次方根 可以用 $\frac{1}{n} \log (N)$ 的對數求取；而「查表」這個行為也仍在如『常態分佈』等表格出現的考試中需要。


以 10 作底是因為在10進制的環境下，對數表能更直觀地使用，例如 要查 12345 的對數，只需要表格中有 1.2345 的對數，再加上 4 就可以了。另一個常見的「底」$e$ ，所謂的自然指數 $e^x$ 和 自然對數 $\ln (N)$ 又是什麼回事？

$e \approx 2.7182818284$ 作為對數的底，相對於10是很晚的事。這個符號，現在常用的定義是 Jacob Bernoulli 從複利（Compound Interest）的考慮而來。$ e = \lim_{n \rightarrow \infty} (1+\frac{1}{n})^n $ 。當一丁點的利率，在很長很長時間後，連本帶利會變成多少？複利顯示的是一種等比級數的增長。實際使用起來，當 1年 分作 n 份，名義年利率 4% 分成每年$\frac{4 \% }{n}$。1年後的本金加利息：$P_1=P_0  \lim_{n \rightarrow \infty} (1+\frac{0.04}{n})^{n(0.04)} = P_0 e^{rt}$。

乘法構成的等比數列 $T(n)=ar^{n-1}$ 是非常基本的一種關係，當中重要的特徵就是指數部分 $r^x$。如果從斷斷續續的數列考慮到一條連續的指數方程式 $f(x)=r^x$，調節等比數列中的比 $r$，令到每一刻數值的增長 $f'(x)$ 與數值 $f(x)$ 本身成正比 $\frac{\text{d}f(x)}{\text{d}x} \propto f(x)$ ，微積分的發展中告訴了我們，所研究的函數可以寫成以 e 為底的指數函數 $e^x$ 或對數函數 $ln(x)$ 。猶其在數字增長率等於數字本身的時候，$f(x)=e^x$ ，$\left\{e^{-1},e^0,e^1,e^2,e^3,...\right\}$。簡單一點地形容：如果當股市在20000點水平時，你期望它一日的波幅有200點（1%）；當它在30000點水平，你應該期望它一日的波幅是300點（1%）。很合常理的情況，還出現在例如：人口增長的模型；以『半衰期』減弱的放射性物質 $N(t)=N_0 e^{-kt}$ 等等，都有 $e$ 的出現。作為 $e^x$ 的逆運算，以 $e$ 作底（Base）的 $\log_e(x)=\ln(x)$ 就經常出現了。

留意 $e$ 的定義：$ e = \lim_{n \rightarrow \infty} (1+\frac{1}{n})^n = \lim_{n \rightarrow 0} (1+n)^\frac{1}{n} $
然後：
\begin{align}
\frac{\text{d}}{\text{d}x}e^x & = \lim_{\delta x \rightarrow 0}(\frac{e^{x+\delta x}-e^x}{\delta x})  \\
& = e^x\lim(\frac{e^{\delta x}-1}{\delta x})  \\
& = e^x\lim_{n \rightarrow 0}(\frac{n}{\ln(n+1)})  \\
& = e^x\lim(\frac{1}{\frac{1}{n}\ln(n+1)})  \\
& = e^x\lim(\frac{1}{\frac{1}{n}\ln(n+1)})  \\
& = e^x(\frac{1}{\ln(\lim_{n \rightarrow 0} (n+1)^\frac{1}{n})})  \\
& = e^x(\frac{1}{\ln e})  \\
& = e^x
\end{align}

如果是 $f(x)=10^x$, 只會得到 $f'(x) = \ln(10) \cdot 10^x$。

另外，還有一種「等角螺線」（Equiangular Spiral） －（穿過原點的任意直線 L，螺線與 L 相交的角永遠相等），會滿足極坐標表示的方程式 $r=ae^{b \theta}$ ，所以又稱為「對數螺線」。這關係又在鸚鵡螺殻、向日葵花盤、燈蛾飛行路線、熱帶氣旋外觀、銀河系旋臂，等大自然事物中出現。

提出 $e$ 的 Jacob Bernoulli 就深入研究和贊嘆這種「對數螺線」，發現它在數種變換下仍會維持原狀。例如在放大縮小時：$m \cdot r = m \cdot ae^{b \theta} = ae^{b (\theta + \phi)}$，全等於原本的螺線旋轉某個角度 。所以，據說他甚至要求把「對數螺線」刻在自己的墓碑上，並附以頌詞－"Eadem mutata resurgo" （Although changed, I arise the same）
（可惜，大概沒有讓雕刻師也了解「對數螺線」 ，被刻錯成另一種圖案－「阿基米德螺線」，直到永遠......）